数学建模是对现实问题进行数学抽象，培养学生用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养的行为过程。这一行为过程不仅能够帮助我们揭示现象背后的规律，预测未来趋势、做出决策，还可以优化系统性能、设计解决方案，促进科学研究和技术发展。《普通高中数学课程标准（实验稿）》将数学建模纳入课程内容范畴，并明确规定“高中阶段至少应为学生安排1次数学建模活动”。然而，中学数学建模课程在实际教学实施过程中面临诸多挑战，如课程资源的梯度设置不足、可供参考的教学与评价方法匮乏等，这些问题导致师生在数学建模的教与学过程中信心不足，甚至出现畏难情绪。基于此，北京中学致力于探索构建中学数学建模课程体系，以期破解中学数学建模课程开发与实施的现实困境。

我们在十余年中学数学建模教学实践中发现，中学数学建模教学主要存在以下现实矛盾。

一是课程供给与学情差异的矛盾。现有建模课程资源多聚焦于选拔性竞赛，缺乏基础性、进阶性内容。我们发现，约60%的学生因缺乏“问题抽象-模型构建”的过渡训练而产生畏难心理，而学有余力的学生又因挑战不足丧失学习兴趣，给教师开展高质量的数学建模教学带来困难和挑战。

二是情境缺失与素养落地的矛盾。传统课堂常将建模简化为“应用题改造”，如将“水箱蓄水”抽象为纯函数问题。2021年，我校调研显示，83%的学生认为此类脱离真实情境的建模“像解题而非解决问题”，导致学生学习兴趣不高、创新动力不足，难以感悟数学建模的本质、体会数学建模的实践价值。

三是评价模糊与教学改进的矛盾。在当前的中学数学建模课程中，我们面临的突出问题是缺乏一套切实可行的评价工具。这种缺失导致了教学反馈的滞后性，使得教师难以及时了解学生的学习情况和存在的问题。为此，我们曾经尝试使用论文评分表来评价学生的作品。然而，在实际操作中却遇到新的难题：评分表无法有效区分学生作品中的“模型创新性”和“数学应用深度”这两个关键维度，因此教师难以为学生提供精准的指导和帮助。

针对上述中学数学建模教学实践中的困境，我们主要从差异化教学、情境化创设、评价导向机制建立三个核心策略出发，探索构建了“基础-拓展-创新”三级课程体系，旨在突破梯度化建模课程内容的开发。

为培养学生的正确价值观、必备品格和关键能力，我们明确了数学建模课程的“四会四能”育人目标，即“会发现，能表达；会分析，能研究；会合作，能实践；会质疑，能创新”。

这一课程目标的设立主要源于以下教育理念。

一是问题导向的深度学习理念。“会发现，能表达”强调培养学生的问题意识，通过真实情境的观察与数据采集，训练其将现实问题转化为数学语言的能力。侧重发展学生的抽象思维与数学表征能力，这是建模的认知起点。

二是科学思维的培养逻辑。“会分析，能研究”对应建模的核心过程，要求学生掌握数据可视化、变量筛选、算法选择等分析工具（如使用Python进行回归分析），同时培养文献研读、方案设计的系统性研究能力，侧重培养批判性思维与分析素养。

三是协同创新的实践范式。“会合作，能实践”基于建模任务的复杂性设计，通过角色分工（如数据员、算法员、撰稿人）、跨年级组队等方式，强化团队协作与工程实践能力，侧重项目管理、成果展示等职业能力的培养。

四是创新驱动的可持续发展观。“会质疑，能创新”鼓励对模型假设、求解结果进行反思，通过组织“模型缺陷答辩会”等活动，培养学生元认知能力与迭代创新意识，为未来开展学术研究奠定基础。

该课程目标体系呈现螺旋上升结构：低年级侧重“表达-分析”基础能力，高年级侧重“合作-创新”高阶能力，最终实现“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”。课程通过“真实问题→数学建模→算法实现→实证检验”的完整闭环，实现知识应用、思维发展、价值塑造的有机统一。

我们结合不同阶段学生年龄特点和认知规律，从数学基础、数学思考、问题解决、情感态度和创新创造五个维度，将数学建模进阶课程目标进一步细分为相互联系、渐次递进的三级进阶课程分级分层目标（见图1），体现建模进阶课程的整体连续性、梯度性和阶段性。

图1：中学数学建模进阶课程分级分层目标

其一，建模初级课程针对刚接触数学建模的六至七年级学生，对应具体运算到形式运算过渡期，侧重直观建模，培养“数学基础”和“情感态度”；建模中级课程针对参与过数学建模的八至九年级学生，形式运算期强化“数学思考”，通过线性规划等案例培养量化分析能力；建模高级课程针对十至十二年级的学生，辩证思维期侧重“创新创造”，涉及机器学习及较复杂系统建模。

其二，分级目标为学生搭建“问题脚手架”，体现了维果茨基最近发展区理论。其中初级目标侧重解决封闭性问题（如最优定价），中级目标侧重处理半开放问题（如疫情预测），高级目标侧重解决挑战开放性问题（如碳中和路径规划）。

其三，在实施过程中采用横向分层、纵向衔接的方式，将课程划分为三个级别，各级课程目标的侧重点不同：初级侧重趣味性，中级强调实用性，高级追求社会价值。

这种进阶课程目标建构既避免了“揠苗助长”式超前教育，又能防止简单重复学习，逐步提升建模思维能力，实现“知识积累→方法迁移→创新应用”的进阶，最终使不同基础的学生都能在建模学习中获得适切发展。

我们依据课程标准关于数学建模的理念、课程目标以及教学内容安排，以大主题、大单元、跨学段方式分级统筹重组义务教育数学课程标准中要求的“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四条主线，以及高中数学课程标准中要求的“函数”“几何与代数”“统计与概率”“数学建模”四条主线的相关教学内容，将课程内容设置为基础内容和拓展内容两部分，形成初级、中级、高级三级进阶的课程体系，兼顾课程的普适性和选择性。

一是初级课程，初步感知数学建模基本过程。基础课程围绕课标要求，针对六至七年级整体设计了数与式（初级）、方程（初级）、几何（初级）、概率与统计（初级）四个专题。拓展课程设计了探究、阅历两个专题，其中，“阅历”专题让学生运用建模思想解决实践活动中的实际生活问题，如活动中的路线选择、住宿最优方案、经费使用最优化等。课程注重让学生体验从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，引导学生发现现实世界中与数学相关的问题，让学生体验从现实生活或具体情境中抽象出数学问题的过程，经历提出问题、分析问题、建立模型、解决问题的数学建模过程，积累数学活动经验，发展建模素养。

二是中级课程，培养数据处理技能和复杂问题解决能力。基础课程围绕课标要求针对八至九年级设计了数与式（进阶）、函数（初级）、几何（进阶）、概率与统计（进阶）、综合与实践活动五个专题。拓展课程设计了探究、竞赛两个专题，其中，“探究”专题包括数学知识储备、建模方法技能、模型类型等。课程注重培养学生运用建模思维解决现实复杂问题的能力。

三是高级课程，突出自主学习能力和创新能力培养。基础课程围绕课标要求针对十至十二年级设计了几何、函数、概率、统计四个专题，拓展课程包括探究、竞赛、自创三个专题。其中，“探究”专题深化高中所学内容，并适当拓展至大学将要学习的内容，如极限与连续性、导数与微分、积分与级数模型等典型模型案例与应用，旨在突出自主学习能力和创新能力培养。

中学数学建模进阶课程的实施突出体现了四个“结合”。一是学生自主发展和导师指导相结合，充分发挥学生的主体性和能动性，引导学生经历问题提出、转化、解决的过程。二是独立探究与协作互助相结合，充分发挥学生的独立性和自主性，注重让学生独立提出并解决问题，同时在组建团队、选择研究主题和研究方法等方面培养协作互助精神和能力。三是面向全体与个性培养相结合，在面向全体的同时，根据学生认知水平及思维能力差异进行分层分类实施，使课程教学对全体学生而言具有选择性、适应性和灵活性。四是创新性与规范性相结合，关注学生创新素养培养，重视塑造学生品格，突出高阶思维能力提升，强调在建模过程中遵守科学发现的道德准则及规范要求。

我们创新实施方式，持续不断开发与社会实践、实际生活相关联的课程资源，满足数学建模课程教与学的需要。具体而言，有以下五种实施载体：一是数学建模社团。数学建模社团作为开展项目式学习的平台，可以通过各种各样的项目研究为学生提供丰富的课程资源。二是各种场馆。如博物馆、艺术馆、科技馆等特色资源丰富的场馆，我们将其作为重要的课程资源平台，供学生开展跨学科学习等。三是学校数学建模实验室。数学实验室作为线上线下混合式学习的课程资源平台，可以为学生提供不受时空限制的资源，以及提供相关软件进行较复杂的数据处理，如使用MATLAB软件处理疫情传播数据。四是各种赛事活动。赛事活动可以作为挑战式学习的课程资源平台，每一次运用数学建模知识和能力的赛事都是学生学习和锻炼的机会。五是社会实践基地。社会实践基地是数学建模的情境资源平台，学校可以与多个社会实践基地建立合作关系，依托其丰富的课程资源开展实践学习活动。

我们根据数学建模进阶课程分级目标要求，以培养学生建模素养为核心，设置“模型假设合理性-算法有效性-结论实用性”三维评分表，构建了“533”发展性评价体系。“533”即数学建模评价的五个维度、数学建模评价的三级水平以及数学建模创新的三级水平。

中学数学建模进阶课程评价包括数学基础、数学思考、情感态度、问题解决、创新创造五个维度，既注重考查学生数学建模知识与能力，关注情感态度与价值观，也关注建模基本素质以及实践能力、科学精神、创新创造能力等的发展（见图2），旨在突破传统数学评价的局限，全面考查学生的建模能力。

图2：中学数学建模进阶课程评价的五个维度

具体而言，在维度1：数学基础方面，确保学生掌握建模所需的数学知识（如函数、统计、算法等），避免“空中楼阁”式的建模，因为建模不是凭空想象，扎实的数学基础是模型合理性的前提。在维度2：数学思考方面，重点考查学生能否用数学思维（如抽象、推理、优化）分析问题，而不仅是套用公式，因为建模的核心是“数学化”现实问题，强调逻辑思维和批判性思维的发展。在维度3：情感态度方面，关注学生的探究兴趣、合作意识、抗挫能力等，避免因畏难情绪放弃建模，因为建模是长期探索的过程，积极的态度比短期结果更重要。在维度4：问题解决方面，检验学生能否将模型应用于真实情境并优化解决方案，因为建模的终极目标是解决问题，而非“纸上谈兵”。在维度5：创新创造方面，鼓励学生突破常规，提出新颖的模型或改进方法，因为建模的本质是创造性劳动，创新力是未来人才的核心竞争力。

我们综合学生在进阶课程中不同的创新素养表现，将建模创新水平划分为能模拟创新、能合作创新和能独立创新三级水平，以培养学生的高阶思维和创新素养（见表1）。

表1：数学建模创新的三级水平

划分建模创新三级水平的目的，一是遵循“模仿-协作-独创”的认知规律，让学生逐步提升创新能力；二是更好地匹配不同学生的学习基础，并让所有学生经历从学习经典模型（模拟创新）到团队合作优化（合作创新），再到自主原创（独立创新）；三是对应真实场景中“借鉴、协作、突破”的创新过程，培养社会化、解决问题的能力。总的来说，就是让创新可学、可练、可评价，让每个学生都能在建模中找到自己的创造“支点”。

我们根据建模的复杂程度将数学建模评价分为三级水平。其中，水平1表示学生能够建立单结构模型，水平2表示学生能够建立关联结构模型，水平3表示学生能够建立创新结构模型，数学建模评价的三级水平与五个维度的对应关系见表2。

表2：数学建模评价三级水平与五个维度对应关系

自数学进阶建模课程开发与实施以来，学生学习数学、参加数学建模课程的兴趣高涨，数学学科能力和综合能力得到显著提升，学生建模作品完整度从2017年的32%提升至2022年的89%；97.4%的学生认为，数学建模有助于提升创新思维能力。教师专业素养提升明显，开发了校本教材《中学数学建模30例》，形成了系列高水平研究成果。未来，学校将进一步完善课程生态体系构建，建立“基础-专项-竞赛”三级课程群，搭建“校-企-研”协同平台；探索以数字技术赋能学习方式变革，开发“建模能力成长跟踪系统”，线上构建交互式建模实验平台，线下配置“智能建模工坊”；尝试以AI助力评价机制创新，开发动态能力画像系统，引入柔性评价标准；实施教师发展支持计划，与高校教师形成教研共同体，建立高校联动培养机制；努力实现社会价值延伸，建设开源资源共享平台，致力于更好地服务社会。